という謎の表記になってしまいます。
ケアレスミスポイントなので、注意しましょう! 変域から式を求める
それでは、一次関数の変域応用問題に挑戦してみましょう。
傾きが正で、xの変域が4≦x≦8 のとき、y の変域が−3≦y≦1 となるような一次関数の式を求めなさい。
このように変域から式を求めるような問題では、グラフをイメージすることが大切です。
傾きが正だから、右上がりのグラフだということがわかります。
そして、横の範囲を4から8で切り取ると
縦の範囲は-3から1になるということなので
グラフのイメージはこのようになります。
よって、グラフは(4, −3) と(8, 1)を通るということが読み取れます。
ここから直線の式を求めていきましょう。
y=ax+bにそれぞれの座標を代入して
−3=4a+b
1=8a+b
これらを連立方程式で解いてやると
a=1, b=−7 となるので
答えは、y=x+7 となります。
変域から式を求めるような問題では
切り取られたグラフをイメージして、座標を読み取りましょう。
座標が分かってしまえば、あとは今まで通りですね! Follow me! 個別進学教室マナラボでは受験情報や教育情報を適切なタイミングでわかりやすく提供し生徒と保護者の不安や疑問にしっかりと応えます。
【一次関数】変域の応用問題の解き方がわかる3つのステップ | Qikeru:学びを楽しくわかりやすく
2πn = i sinh^(-1)(log(-2 π |n| - 2 π n + 1))のとき n=-|n|ならば n=0より不適であり n=|n|ならば 2π|n| = i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であるから 0 = 2π|n| + i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であり i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))は実数であり Im(i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))) = 0なので n=0より不適. したがって z≠2πn. 【補題2】 補題1より, x, yをある実数とし |(|y|-1+e^(i(|sin(y)|)))/y|=|(|y|-1+e^(i|y|))/y| とし, y=2πxとおくと, xは整数ではない. 【証明】円周率は無理数である. a, bをある正の整数とし π=b/a(既約分数)の有理数と仮定する. b>a, 3. 5>π>3, a>2 である. cをある実数とし, c=2aπとおく. e^(ic) =cos(c)+i(sin(c)) =1. よって sin(c) =0 =|sin(c)| である. c>0, |sin(c)|=0, e^(i|c|)=1より |(|c|-1+e^(i(|sin(c)|)))/(c)| =|(|c|-1+e^(i|c|))/(c)| =1. yをある実数とし, y=1とおくと |(|y|-1+e^(i(|sin(y)|)))/y| =|(|y|-1+e^(i|y|))/y| =1. ここで, 補題2より |(|c|-1+e^(i(|sin(c)|)))/(c)| =|(|c|-1+e^(i|c|))/(c)| =|(|y|-1+e^(i(|sin(y)|)))/y| =|(|y|-1+e^(i|y|))/y| とし, y=2πxとおくと, x≠aである. これは不合理である. これは円周率が有理数だという仮定から生じたものである. したがって円周率は無理数である.
座標を直線の式に代入する! 最後は、2つの座標を式に代入してみよう。
例題の直線は、
の2点を通るはずだったね?? こいつを直線の式、
に代入してbを求めればいいんだ。
さっそく、y = -2x + bに(4, -5)を代入すると、
-5 = -2 × 4 + b
b = 3
になるね。
つぎは、bの値がわかった一次関数の、
y = -2x + 3
に(c, 5)を代入してcを求めてみよう。
すると、
y = – 2x + 3
5 = – 2c + 3
c = -1
になるよ。
これで文字の正体がわかったね。
おめでとう^^
まとめ: 一次関数の応用問題はグラフをかかなくても楽勝! 一次関数の変域の問題はよく、
グラフをかけば解ける
っていわれる。
だけどね、ぶっちゃけグラフなんていらん。
傾きの符号をみて、xとyの組み合わせを考えればいいんだ。
応用問題におそれず挑んでいこう! そんじゃねー
Ken
Qikeruの編集・執筆をしています。
「教科書、もうちょっとおもしろくならないかな?」
そんな想いでサイトを始めました。
もう1本読んでみる
この問4の変域からaとbを求める問題の解説をお願いします。 - 1次関... - Yahoo!知恵袋
変域を求める問題
また新しい言葉がでてきましたね。
「変域」ってなんでしょうか? この良く分からない響きに惑わされて、苦手意識を持っている場合がとても多いです!
円周率の無理性を証明したいと思っています。 下記の間違えを教えて下さい。 よろしくお願いします。 【補題1】 nを0でない整数とし, zをある実数とし |(|z|-1+e^(i(|sin(z)|)))/z|=|(|z|-1+e^(i|z|))/z|とすると z≠2πn. nを0でない整数とし, zをある実数とする. |(|2πn|-1+e^(i(|sin(z)|)))/(2πn)|=|(|2πn|-1+e^(i|2πn|))/(2πn)|と すると z = -i sinh^(-1)(log(-2 π |n| + 2 π n + 1)) z = i sinh^(-1)(log(-2 π |n| + 2 π n + 1)) z = -i sinh^(-1)(log(-2 π |n| - 2 π n + 1)) z = i sinh^(-1)(log(-2 π |n| - 2 π n + 1)) である. 2πn = -i sinh^(-1)(log(-2 π |n| + 2 π n + 1))のとき n=|n|ならば n=0より不適である. n=-|n|ならば 0 = -2πn - i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であり i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))は実数であり Im(i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))) = 0なので n=0より不適. 2πn = i sinh^(-1)(log(-2 π |n| + 2 π n + 1))のとき n=|n|ならば n=0より不適である. n=-|n|ならば 0 = -2πn + i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であり i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))は実数であり Im(i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))) = 0なので n=0より不適. 2πn = -i sinh^(-1)(log(-2 π |n| - 2 π n + 1))のとき n=-|n|ならば n=0より不適であり n=|n|ならば 2π|n| = -i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であるから 0 = 2π|n| - i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))であり i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))は実数であり Im(i sinh^(-1)(log(-4 π |n| + 1))) = 0なので n=0より不適.
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一次関数の変域の応用問題を解きたい! こんにちは!この記事をかいているKenだよ。汗かきたいね。
一次関数の変域の求め方 の基礎はわかった。
だけど、ときどき、
変域の応用問題 ってでてくるよね。
たとえば、つぎのような問題さ。
y=-2x+bのxの変域がc≦x≦4のとき、yの変域が-5≦y≦5である。bとcを求めなさい。
いっけん楽勝にみえる。
だけどじつは、うっかりミスを誘うトラップ問題なんだ。
今日はこの変域の問題の解き方を3ステップで解説していくよ。
よかったら参考にしてみてね。
一次関数の変域の応用問題の解き方がわかる3ステップ
例題をいっしょにといていこう。
この手の問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。
Step1. 傾きの符号をチェックする
まずは問題で登場する、
一次関数の傾きの符号をチェックしよう! 傾きが+なのか?? それとも、とんでもなくマイナスなのか?? さらっと調べてみよう。
例題の関数の、
y = -2x + b
に注目してみて。
こいつの傾きは「-2」。
あきらかにマイナスがついちゃってるよね?? ってことで、例題の傾きは負の数だ。
Step2. 直線が通る2点を求める! つぎは、
xが大きくなるとyはどうなるか?? を考えてみよう。
もし、一次関数の傾きが+のとき、
xが大きければ大きいほどyも大きいね? だから、xが最大値になるとき、yも最大値になるってわけ。
逆に、傾きが -のとき、
xが大きければ大きいほどyは小さくなっちゃう。
だから、xが最大値のときはyは最小値になるわけさ。
つまり、これをまとめるとつぎのようになる↓↓
傾きが「+」: xが最大値のとき、yは最大値。xが最小値のとき、yは最小値
傾きが「−」: xが最大値のとき、yは最小値。xが最小値のとき、yは最大値
※ min:最小値、 max: 最大値
例題をみてみよう。
一次関数の傾きは「マイナス」だったよね?? xとyの変域から最小値・最大値をだしてみると、
x: 最小値 = c, 最大値 = 4
y: 最小値 = -5, 最大値 = 5
になってるね。
んで、一次関数の傾きがマイナスだから、
xが最小値cのとき、yは最大値5
xが最大値4のとき、yは最小値-5
になるんだ! つまり、
y = -2x + b は、
(c, 5)
(4, -5)
の2点を通るんだ。
こんな感じで、
xとyの組み合わせをみつけるのが第2ステップだよ^^
Step3.
二次関数 ~めっちゃわかる基本!~
放物線はどっちに開いているのか? 問題 2つの関数\(~y=ax^2(a>0)\)、 \(y=-2x+b~\)は、\(x~\)の変域が \(~-4≦x≦2~\)のとき\(~y~\)の変域が 一致する。\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。
まずは一次関数「\(~y=ax^2~\)」に注目しよう! \(a>0\)より
放物線は上に開く(下に凸)
\(~y=ax^2~\)で、\(~-4≦x≦2~\)より
\(x=4\)のとき最大値
\(y=a×(-4)^2\\y=16a\)
最小値は
\(y=0\)
となる
二次関数 ~変域は手描きで攻略せよ!~
一次関数(直線)を重ねよう! \(y=-2x+b\)は
\(x=-4\)のとき最大値\(16a\)を通るから
\(16a=-2×(-4)+b\)
よって、\(16a=8+b…①\)
また、\(x=2\)のとき最小値\(0\)を通るから
\(0=-2×2+b\\b=4\)
これを①に代入して
\(16a=8+4\\a=\frac{3}{4}\)
よって
答え \(a=\frac{3}{4}\)、\(b=4\)
解く手がかりは問題に必ずある! 今回の問題では、 \(~y=ax^2(a>0)\) から 上に開いた放物線 であることがわかり、最大値、最小値がわかりました。あとは点を通るので代入するだけです! 何度も問題を解いてパターンを身につけるといいと思います! (Visited 796 times, 3 visits today)
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